probabilidad

Probabilidad
1. Experimentos aleatorios. Espacio maestral.
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.
A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.
Ejemplos:
En un dado, E={1,2,3,4,5,6}
En una moneda, E={C,+}
Para empezar, vamos a prestar atención a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,...
Ejercicio 1-1:Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
Lanzar tres monedas.
Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
Sucesos.
En el Ejercicio 1.1 del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:
Salir múltiplo de 5:
A={5,10,15}
Salir número primo:
C={2,3,5,7,11,13,17}
Salir mayor o igual que 12:
D={12,13,14,15,16,17,18}
Todos estos subconjuntos del espacio muestral E los llamamos sucesos. Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.
Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales.
También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E, suceso seguro.
Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S.
Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.
Ejemplos:
{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales.
En un dado hay 26 = 64 sucesos.
En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{+}, {C,+}
Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}}
Ejercicio 2.1-1:Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una Solución:
Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:
E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
E={BB,BN,NN}
Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}
hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B?
Ejercicio 2.1-2:Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes:
Calcula los sucesos y .
Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.
Encuentra los sucesos contrarios de A y B.
Solución:
Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:
A = {2,3,5,7}B = {1,4,9}
A partir de estos conjuntos, tenemos:
La unión e intersección de A y B son:
= {1,2,3,4,5,7,9}= Ø
Al ser = Ø, los sucesos A y B son incompatibles.
El suceso contrario de A es = {1,4,6,8,9}El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8}